Modelowanie i analiza — czynności inżynierii systemów
Trzy podstawowe czynności
| Czynność | Cel | Wynik |
|---|---|---|
| Modelowanie | Stworzenie reprezentacji / opisu obiektu | Model matematyczny lub symulacyjny |
| Analiza | Ocena parametrów i właściwości obiektu | Zrozumienie zachowania systemu |
| Podejmowanie decyzji (synteza) | Wybór najlepszego działania | Optymalna decyzja u* |
Modelowanie
Modelowanie to próba przedstawienia zjawiska lub właściwości w kategoriach innych zjawisk, które już rozumiemy. Model jest zawsze stylizacją, uproszczeniem.
Metody tworzenia modeli
- Z wykorzystaniem praw naukowych: Prawa fizyczne (np. grawitacja), chemiczne (równania reakcji) — podstawy teoretyczne do opisu obiektu.
- Z wykorzystaniem danych pomiarowych (identyfikacja):
- Parametryczna — określanie konkretnych parametrów założonego modelu.
- Nieparametryczna — bez zakładania konkretnej struktury modelu.
Modele statyczne
Opisują proces w stanie ustalonym — wyjście w danej chwili zależy tylko od wejścia w tej samej chwili. Nie uwzględniają zmian w czasie.
Odwzorowanie: \( F: U \rightarrow Y \) — model statyczny.
Typy modeli statycznych
- Funkcyjny: Model w formie wykresu — zbiór punktów należących do krzywej \( y = f(u) \).
- Tablicowy: Tabelaryczna zależność wyjście ↔ wejście (dyskretna).
- Regresyjny: Model liniowy lub wielomianowy wyznaczony z danych pomiarowych.
Model potęgowy: y = k·uα
Model nieliniowy: y = f(u, a1, a2, …)
Modele dynamiczne
Opisują zachowanie systemu w czasie — wyjście zależy od historii wejść. Stan systemu zmienia się w czasie.
Ogólna postać (dyskretna): \( x_{n+1} = f(x_n, u_n) \), gdzie \(x_n\) — stan systemu.
Typy modeli dynamicznych
- Równania różniczkowe: \( \dot{y} = f(y, u) \) — model ciągły.
- Równania różnicowe: \( y_{n+1} = f(y_n, u_n) \) — model dyskretny.
- Funkcja przejścia: \( G(s) \) — transmitancja w dziedzinie Laplace'a.
Analiza ilościowa
Ocena numerycznych wartości parametrów i charakterystyk systemu:
- Wyznaczanie wartości wyjścia y dla zadanego wejścia u.
- Badanie stabilności systemu.
- Analiza wrażliwości — jak zmiana parametrów wpływa na wyjście.
- Symulacja komputerowa — numeryczne rozwiązanie modelu.
Analiza jakościowa
Ocena opisowa właściwości systemu:
- Czy system jest stabilny?
- Czy odpowiedź jest monotoniczna czy oscylacyjna?
- Jakie są granice zakresu pracy systemu?
Podejmowanie decyzji
Synteza wyników modelowania i analizy — wybór decyzji u*, która optymalizuje kryterium Q:
\[ u^* = \arg\min_{u \in D_u} Q(u) \]
Podejmowanie decyzji może obejmować:
- Jednoetapowe PD: Jedna decyzja, bezpośredni efekt.
- Wieloetapowe PD: Sekwencja decyzji w czasie (programowanie dynamiczne).
- Wielokryterialne PD: Optymalizacja wielu kryteriów jednocześnie.